sábado, 25 de septiembre de 2010

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.

n
10 x 9 x 8 = 720


¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea 
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1

 Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

 Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación
* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.


 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12


PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:
1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?


Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric


      M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora


PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
                      m+n maneras.

Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA                     PLAYAS
Económico             Residencial
Condominio           Californiano
                              Provenzal
   m=2                           n=3

           2+3= 5 maneras


PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
                                               
                                              FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
 Aplicando la formula de la permutación tenemos:

 
                                                  
 n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !



PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
 r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.


Estas son una pagina interactiva interesantes, que les puede ser muy util para el mejor  entendimiento de las Tecnicas de Conteo:


40 comentarios:

  1. Saludos, Soy un profesor de matematicas, espero intercambiar informacion, mi blog es jlg78.blogspot.mx (matematicas basicas)

    ResponderEliminar
  2. creo que las mate aveces son poco complicadas espero y me pueda ayudar con las dudas k tena ,gracias por compartir sus conocimientos a todos los k los necesitamos!!!!!!!!!!!!!!!

    ResponderEliminar
  3. Muy bueno ejemplos! Una critica constructiva seria q le cambiaran los colores claros q no se ven.. por lo demas bn. Son solo algunas partes.

    ResponderEliminar
  4. es una muy buena pagina..el problema es q solo tiene un tema podrian poner mas haciendose conoser mas y tener personas q sepan y estos pueden aportar sobre temas matematicos ,algebraicos.etc

    ResponderEliminar
  5. Esta muy bien la información, lo único malo es que hay colores claros que casi no se ven.

    ResponderEliminar
  6. hola tengo un problema y esque no entiendo muy bien y me han dejado estos 5 problemas
    1. cuantos numeros de 3 cifras se pueden armar con los digitos 12y3 sin repetir digitos y despues repitiendo .

    2.cuantas placas de carro se pueden realizar con los numeros del 1 al 5
    si se sabe que en ninguna placa pueden existir repeticiones ,que importa las posiciones de los numeros y cada placa tiene 3 digitos
    3) de cuantas maneras se pueden organizar 9 personas en 4 silla

    4)
    un profesor de literatura presenta a sus estudiantes 9 obras literarias y les pide q cojan 3 para trabajar en el periodo
    * de cuantas maneras un estudiante puede seleccionar 3 de 9 obras

    5)
    un comite se conforma por un presidente un bisepresidente ,secretarioy 3 vocales
    se tienen 10 personas para formar dicho comite cuantas opciones tiene para formar dicho comite

    ResponderEliminar
  7. amigo, checa tu ortografia, de todas maneras me sirvio mucho la informacion contenida. espero tengas mas asi..

    ResponderEliminar
  8. esto fue un buen aporte para mi conocimiento.

    ResponderEliminar
  9. Es bastante extenso el texto, pero me ha servido bastante; tengo unos ejercicios de probabilidad que me ha costado resolverlos, aquí les va espero me pueda ayudar:

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que un(a) ingeniero(a) al revisar cuatro computadores :
    a. Todos estén en perfecto estado?
    b. Tres estén en perfecto estado?
    c. Dos tengan problemas?

    2. El propietario de una cadena de librerías contrata a un (a) ingeniero(a) para que le haga un software para la distribución de libros y poder solucionar situaciones como la siguiente: llegan 15 libros y deseo ordenar 7 de ellos en un estante. ¿De cuántas maneras distintas puedo hacerlo?

    3. Un(a) ingeniero(a)es contratado para arreglar un computador, cree que hay 3 causas y las señalas con las letras: D, E, F.
    a. Enumere el orden que podría dar a la solución.
    b. Utilice la fórmula ¿De cuántas maneras se puede permutar?

    4. Un joven ingeniero, hijo único desea tener una familia numerosa. Tiene el siguiente dilema y quiere solucionarlo ¿De cuántas maneras puedo formar una familia de 6 hijos, si deseo que 4 sean niñas y 2 niños?

    5. Un (a) ingeniero(a) es contratado(a) por una multinacional y le entrega a su cargo un grupo de 15 trabajadores para que forme equipos de acuerdo a situaciones específicas ¿Cuántos equipos diferentes de 3 trabajadores puede formar?

    ResponderEliminar
  10. Buenicima esta ayuda, porque la verdad no sabia como hacer esos ejercicios.

    ResponderEliminar
  11. En el ejercicio de las placas, considero que deberia ser 27x26 tomando en cuenta que el abecedario tiene 27 letras.

    ResponderEliminar
  12. buenas noches que pena la pregunta es que no entiendo lo de las placas, me lo podrian explicar mas claramente gracias

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Hola, mira lo que pasa en que las letras de cada placa serian dos que no se pueden repetir y los digitos tres. Entonces como son 26 letras y los dígitos serian del 0-9, lo que se hace es: el primer 26 representa las letras luego disminuye a 25 porque ya se utilizo una letra, luego el 10 es por los 10 digitos y disminuye a 9 porque se utiliza 1 digito y luego a 8 porque se utiliza otro. lo de las letras son dos veces osea 26 y 25 porque son dos letras que lleva la placa y los digitos son 3 veces osea 10, 9 y 8 porque son 3 digitos que lleva cada placa. y pues eso se multiplica como vez y ya. Espero haberme echo entender. :)

      Eliminar
    2. Hola, mira lo que pasa en que las letras de cada placa serian dos que no se pueden repetir y los digitos tres. Entonces como son 26 letras y los dígitos serian del 0-9, lo que se hace es: el primer 26 representa las letras luego disminuye a 25 porque ya se utilizo una letra, luego el 10 es por los 10 digitos y disminuye a 9 porque se utiliza 1 digito y luego a 8 porque se utiliza otro. lo de las letras son dos veces osea 26 y 25 porque son dos letras que lleva la placa y los digitos son 3 veces osea 10, 9 y 8 porque son 3 digitos que lleva cada placa. y pues eso se multiplica como vez y ya. Espero haberme echo entender. :)

      Eliminar
  13. Hola,me ayudaría con este ejercicio?
    Al lanzar dos dados en forma de teatro, numerados de uno a cuatro
    Escribir los elementos de los siguientes eventos.
    1. A: La suma de ambos resultados es 7
    2. B: La suma de ambos resultados es menor o igual 8
    3. C: La suma de ambos resultados es mayor que 10
    4. D: La suma de ambos resultados son un divisor de 12

    ResponderEliminar
  14. me sirvio de mucho muchas gracias es lo mejor :D

    ResponderEliminar
  15. exelente el la información gracias. :D

    ResponderEliminar
  16. Hola buenos días quisiera saber si alguien me puede ayudar con este ejercicio, la verdad se me ha complicado muchísimo y no comprendo muy bn por donde debo iniciar.

    En su excitante novela “Congo”, Michael Crichton describe la búsqueda de depósitos de diamantes azules cubiertos de boro llevada a cabo por Earth Resources Technology Services (ERTS), una compañía dedicada a estudios geológicos. Según ERTS los diamantes son la clave para una nueva generación de computadoras ópticas. En la novela ERTS compite contra un consorcio internacional por encontrar la cuidad perdida de Zinj, que prosperó dada la minería de diamantes hace varios miles de años (según la leyenda africana) y se ubica en lo más profundo de la selva tropical de Zaire Oriental.
    Después de la misteriosa destrucción de su primera expedición, ERTS lanza una segunda expedición dirigida por Karen Ross, una experta en computación de 24 años de edad, acompañada por el profesor Peter Eliot, un antropólogo; Amy, un gorila parlante; y el afamado mercenario y líder de la expedición, el “capitán” Charles Munro. Las acciones ofensivas del consorcio, la mortal selva tropical y las hordas de gorilas “parlantes” asesinos, que percibieron que su misión era defender las minas de diamantes, bloquean los esfuerzos de Ross para encontrar la ciudad. Para superar estos obstáculos Ross utiliza computadoras de la era espacial para evaluar las probabilidades de éxito en todas las circunstancias posibles y las acciones que pudiera llevar a cabo la expedición. En cada etapa de la expedición, ella evalúa rápidamente las probabilidades de éxito.
    En una etapa de la expedición Ross recibe informes de su oficina principal en Houston, de que sus computadoras estiman que tiene 18 horas y 20 minutos de retraso en relación con el equipo competidor euro-japones, en lugar de 40 horas de ventaja. Cambia los planes y decide que 12 miembros de su equipo desciendan en paracaídas en una región volcánica cerca de la ubicación estimada de Zinj. Según el relato de Crichton, “Ross había vuelto a revisar las probabilidades de la computadora de Houston y los resultados eran inequívocos. La probabilidad de un salto exitoso era 0,7980; sin embargo, dado un salto exitoso, la probabilidad de éxito de la expedición era de 0,9943 con lo cual casi se aseguraba de que vencerían al consorcio”
    Sin olvidar que se trata de la cita de una novela, examine las probabilidades mencionadas y determine:
    1. Si fuera uno de los 12 miembros del equipo, cual es la probabilidad de completar su salto con éxito?
    2. Si la probabilidad de que los 12 miembros del equipo tengan un salto exitoso es de 0.7980, cual es la probabilidad de que un solo miembro del equipo pueda completar el salto con éxito?
    3. En el relato se afirma que: “esa probabilidad de 0,7980 significaba que había casi una posibilidad entre cinco de que alguien se hiera seriamente en un salto”. Concuerda usted con esa afirmación? Si o no. ¿Por qué?

    ResponderEliminar
  17. Esta muy buena la informacion, lo que no me gusto es el fondo me fuerza mas la vista para leer...

    ResponderEliminar
  18. Esta muy buena la informacion, lo que no me gusto es el fondo me fuerza mas la vista para leer...

    ResponderEliminar
  19. BIEN,TODO LO QUE NESESITAVA EN UN SOLO LUGAR

    ResponderEliminar
  20. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderEliminar